1. El Fundamento: Límites y Aproximación Secuencial
Avanzamos desde la abstracción teórica de los límites hasta la realidad computacional en la que un procesador no puede acercarse al cero; solo puede aproximarse a un epsilon máquina.
Una función $f$ definida sobre un conjunto $X$ tiene el límite $L$ en $x_0$, escrito $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, si dado cualquier número real $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \varepsilon$, siempre que $x \in X$ y $0 < |x - x_0| < \delta$.
Una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ tiene el límite $x$ si, para cualquier $\epsilon > 0$, existe un entero positivo $N(\epsilon)$ tal que $|x_n - x| < \epsilon$ siempre que $n > N(\epsilon)$. Esto justifica nuestras algoritmos iterativos.
2. Continuidad y Diferenciabilidad: Requisitos de Seguridad
En el software numérico, Continuidad (Definición 1.2) y Diferenciabilidad (Definición 1.5) no son solo propiedades académicas; son "requisitos de seguridad" para la estabilidad numérica. Teorema 1.6 demuestra que si una función es diferenciable en $x_0$, entonces es continua en $x_0$, garantizando que pequeños errores de medición no produzcan saltos catastróficos en la salida.